Se han aplicado las teorías de control óptimo y control robusto

En este trabajo se presentan dos nuevas aproximaciones para la estimación de las variables mecánicas (posición, velocidad, par de carga) de cualquier máquina accionada por un motor eléctrico, desde el brazo de un robot industrial hasta una mesa de posicionamiento XY, pasando por un vehículo eléctrico o un tren de laminación. Los métodos propuestos se basan en el procesado digital de los pulsos del encoder junto a las corrientes del accionamiento, lo que hace factible la mejora en el comportamiento dinámico de las máquinas. Respecto al uso de los lazos de control convencionales, la principal ventaja que se obtiene de la aplicación de los observadores que se propondrán consiste en el incremento de la capacidad de rechazo a las perturbaciones externas.

En el estudio de las técnicas de control del movimiento, el apartado relativo al rechazo a las perturbaciones externas y a la variación de los parámetros es de vital importancia ya que incide de forma decisiva en el comportamiento global del sistema bajo control, siendo deseable que la influencia en la respuesta de los factores externos no modelados sea lo menor posible. Para minimizar los efectos de dichas perturbaciones en la máquina bajo estudio, se han aplicado aquí las teorías de control óptimo y control robusto.

En general, el comportamiento del sistema bajo control se ve seriamente afectado por la fricción, el ruido de medida, las cargas externas o las no-linealidades. El objetivo en el diseño del controlador es proporcionar robustez, de manera que el sistema se comporte adecuadamente bajo las perturbaciones señaladas. Pero debido a que en muchos casos prácticos no se cuenta con información sobre la magnitud del ruido del sensor o sobre la dinámica no modelada de la planta (como las resonancias de la torsión de los ejes), lo que como consecuencia puede conducir a la inestabilidad a un sistema, uno de los principales problemas que hay que tratar al plantear el problema de control óptimo surge al caracterizar las perturbaciones. Por otro lado, una variable de estado de especial importancia en el comportamiento de la máquina-herramienta es la velocidad, debido a que esta señal se emplea tanto en el lazo de realimentación externo, como en los lazos internos de control vectorial de las máquinas de corriente alterna. Por lo tanto, su obtención a partir de los pulsos generados por un encoder digital es un aspecto básico a tener en cuenta.

Tradicionalmente la medida de velocidad a partir de los trenes de pulsos generados por el encoder se ha llevado a cabo con los métodos de posición fija y tiempo fijo. Ambos métodos se caracterizan por su reducida necesidad de componentes adicionales requeridos para su implementación, pero también por proporcionar una medida de la velocidad promedio, no de la velocidad instantánea. El método mixto M/T propuesto por Ohmae [1], que supuso una considerable mejora, se trata básicamente del método de periodo fijo, pero con el empleo de un reloj de alta frecuencia para mejorar la precisión, al igual que en el método de posición fija. La principal desventaja de este método es que el periodo de detección es variable, y además, cuando la velocidad es baja, el tiempo de detección se vuelve muy largo y en consecuencia solamente la velocidad media es detectada, en lugar de la velocidad instantánea. El retraso en la medida propio de los métodos citados genera inestabilidad en el lazo de realimentación, obligando a disminuir la ganancia, lo que a su vez empeora la velocidad de respuesta de las máquinas.

Figura 1. Diagrama de flujo del observador.

Para calcular la velocidad instantánea, los métodos de medida de la velocidad con empleo del modelo dinámico consisten en añadir la información del par motor a la de la posición proporcionada por el transductor de posición. Estos algoritmos tienen una estructura sencilla y son válidos para el rechazo de perturbaciones externas, e incluso pueden abordar la variación de los parámetros. Por ejemplo, Iwasaki [2] aplicó el observador en su forma estándar a la compensación de la fricción de tipo no lineal en una mesa de posicionamiento. Aunque inicialmente se aplicaron con éxito en su configuración determinista, basada únicamente en criterios de velocidad de respuesta [3-6], sin embargo los observadores de tipo estocástico, en los que se parte de un modelo del ruido, poseen mejores propiedades que los primeros [7,8]. El esquema de control que se propone a continuación se basa en uno de estos últimos, como se puede ver en el diagrama de flujo de la figura 1.

El objetivo del filtro Kalman es obtener estados que no se pueden medir, usando medidas de otros estados y la estadística del ruido. A través de las entradas de ruido es posible tener en cuenta además las imprecisiones computacionales y errores de modelado. Un aspecto fundamental en el comportamiento del filtro Kalman radica en la elección del bloque de ganancia de este observador. La ganancia Kalman se elige para conseguir las mejores estimaciones posibles de los estados en el sentido de varianza mínima. El algoritmo del filtro tiene dos etapas, la etapa de predicción y la etapa de filtrado. Durante la predicción se utiliza un modelo matemático en el espacio de estados. En la siguiente etapa, se corrigen las estimaciones utilizando el término de corrección que incluye la medida. Este término de corrección es la diferencia ponderada entre el vector de salida actual y la predicción del vector de salida. El término de ponderación es la ganancia Kalman, que siendo óptima, minimizará las varianzas del error de estimación de los estados que están siendo estimados. Una ventaja de este algoritmo es que los cálculos se pueden organizar mediante ecuaciones recursivas. La precisión depende de los parámetros del modelo que se emplean. Una parte crítica en el diseño es el uso de valores correctos de las distintas matrices de covarianza. Estas pueden obtenerse considerando las propiedades estocásticas de los correspondientes ruidos. Pero si el ruido del proceso está mal evaluado y realmente tiene sesgo en su distribución, el filtro Kalman producirá estimaciones a su vez sesgadas.

Uno de las principales dificultades al plantear el problema de control óptimo surge al caracterizar las perturbaciones

La idea fundamental que subyace en el estudio que se expone aquí, es que al aplicar la actualización del estado en el instante en que llegan los pulsos del encoder, la covarianza del error de medida, Rk, tiende a aproximarse a cero. La principal consecuencia que se deriva es que se consigue eliminar en la práctica la no-linealidad del encoder, asegurando la estabilidad asintótica mientras mantenemos el ajuste automático de la ganancia, propio del filtro Kalman. Este planteamiento conduce a un filtro Kalman multifrecuencia, es decir, con periodo de muestreo variable en función de la velocidad de giro de la máquina, y cuyas matrices de incertidumbre son recalculadas cada periodo de muestreo. En el nuevo observador que se propone se hace uso del tiempo que transcurre desde el último pulso del encoder hasta el instante de muestreo actual. El objetivo es mejorar la estimación de estados con el nuevo aporte de información. Para medir dicho tiempo se utiliza un reloj de alta frecuencia de periodo THF, un contador y algo de lógica para resetearlo a cada llegada de un pulso del encoder como se puede observar en la figura 2. Al incorporar la información proveniente del contador, el retardo entre la llegada del pulso (verdadera posición) y el instante en que se actualiza el observador se puede reducir tanto como se desee aumentando fHF. El error máximo de posición se reduce entonces al producto de la velocidad angular y el periodo del reloj de alta frecuencia, emax =w THF, siempre menor que el ángulo de separación entre dos ranuras.

Figura 2. Empleo de la información del contador de alta frecuencia.

Al implementar el observador propuesto, se observa inmediatamente un incremento en el ancho de banda. Esto se explica porque como las medidas angulares son realizadas con mayor precisión (precisamente porque se actualiza la medida junto a la discontinuidad), el mecanismo de autosintonía de la ganancia Kalman produce valores de ganancia más altos y por lo tanto observadores más rápidos. Se han realizado simulaciones utilizando el programa Matlab con el sistema bajo estudio en diferentes rangos de velocidad de giro, para verificar la respuesta del nuevo filtro multifrecuencia. La respuesta en frecuencia del error de estimación indica que el filtro propuesto es capaz de estimar variaciones hasta una década por encima respecto al filtro Kalman estándar. Por otro lado, cuando la velocidad de giro de la máquina es baja, los observadores con periodo de muestreo fijo presentan con frecuencia oscilaciones periódicas de baja frecuencia en las variables de estado estimadas, denominadas “ciclos límite”. Esto se explica porque un observador es básicamente un sistema con realimentación de estados, y cuando se intercala un elemento no lineal como el encoder en un lazo de realimentación el sistema responde generando oscilaciones periódicas autosostenidas. Mediante la sincronización de las actualizaciones de las medidas con las discontinuidades de la señal de posición del encoder, cual se implementa en la metodología propuesta, se consiguen eliminar por completo los ciclos límite. Una importante propiedad del “observador de perturbación” es que la prealimentación de los pares externos estimados convierte el sistema original en el sistema nominal (modelado) sin perturbación. Al compensar el par de carga podemos conseguir una respuesta más rápida y un rizado de la velocidad menor ante la presencia de cargas tiempo-variantes.

Para conseguir observadores en los cuales el error máximo de la estimación respecto al estado real esté acotado y sea mínimo se ha aplicado también la técnica de la Aritmética de Intervalos Afines [11,12]. Se parte de la premisa de que el ruido de medida y del proceso están acotados, con lo que no se necesita conocer las propiedades estadísticas del ruido. Se emplea un algoritmo de optimización no lineal para encontrar la ganancia que minimiza el error de estimación.

En la figura 4 se representa el conjunto de estados factibles. Esta figura geométrica contiene todos los posibles estados a los que puede haber llegado el sistema mecánico bajo observación. En la figura se han considerado tres variables de estado, la posición del eje de la máquina, su velocidad y el par externo aplicado. Debido a las especiales características de esta figura el cálculo de los límites máximo y mínimo en los que se puede encontrar el estado del sistema consiste en una operación de sumas de valores absolutos, muy rápida de resolver con un procesador digital de señal (DSP). Con este método se obtienen estimaciones con límites 100 % garantizados, con la ventaja adicional de que no es necesario hacer suposiciones sobre las propiedades estadísticas del ruido como ya se ha indicado anteriormente. Además, al no utilizar una estructura nueva de observador se puede aplicar a esquemas preexistentes con la precaución de reajustar la ganancia del filtro.

Los algoritmos propuestos se han probado experimentalmente en una plataforma de control vectorial basada en el DSP TMS320C30 de Texas Instruments, cuyo esquema se muestra en la figura 5. La tarjeta posee además un procesador vectorial (AD2S100) de Analog Devices para acelerar el tratamiento de las corrientes procedentes del motor. Se trata de un chip híbrido que realiza las transformaciones vectoriales 3/2 y rotación. El generador de PWM consiste en el integrado TH8001, y entre otras funcionalidades permite la compensación del tiempo muerto.

Además cuenta con una UART para la comunicación con un PC u otro dispositivo de interfaz, y de dos puertos serie síncronos para extender la capacidad y las posibilidades de conexión a nuevos dispositivos.

Figura 3. Respuesta temporal y en frecuencia ante cambios en la referencia (rojo) y en el par de carga externo, con el método propuesto (verde) y el método estandar (azul).

n este trabajo se ha estudiado la estimación de la velocidad y del par de carga del servosistema de velocidad, con medida de la posición mediante encoder digital, así como su aplicación en el diseño del controlador robusto. Las dos líneas que se han explorado, no se contraponen, sino que se complementan, y su aplicación depende del modelo de las perturbaciones de que se pueda disponer. La aproximación estadística maneja más información y en consecuencia proporciona estimaciones más ajustadas, siempre que el modelo del ruido es correcto. La aproximación no estadística tiene la ventaja de permitir expresar de un modo más directo las incertidumbres en las entradas y salidas desde el punto de vista de la sintonía del sistema de control. La ganancia obtenida con el método modificado proporciona observadores con mayor ancho de banda en la estimación de las perturbaciones.

Se ha aplicado de forma experimental el observador de estados propuesto al sistema con realimentación de velocidad, obteniendo mayor inmunidad a las perturbaciones externas, mientras mantiene la respuesta a la entrada. Como el ruido del sensor se reduce de forma efectiva mediante lógica digital su presencia en la velocidad controlada es considerablemente menor. La aplicación de técnicas de acotación de estados de sistemas sometidos a perturbaciones desconocidas pero limitadas en magnitud ha permitido obtener una representación de la forma geométrica de los estados factibles, lo que permite garantizar que el sistema se encuentra dentro de los límites calculados. Además de ser útil para modelar correctamente la no-linealidad del encoder, también permite tener en cuenta otras no idealidades como el backslash, existente en mayor o menor medida en los acoplamientos con engranajes

Figura 4. La envolvente del conjunto de estados factibles es un “zonotopo”.

Figura 5. Diagrama de bloques del sistema experimental.

[1] Ohmae, T., T. Matsuda, K. Kamiyama, y M. Tachikawa. A microprocessor controlled high-accuracy wide range speed regulator for motor drives. IEEE Trans. Ind. Electronics, 29:207–211, 1982.

[2] Iwasaki, M., T. Shibata, y N. Matsui. Disturbance observer based nonlinear friction compensation in table drive system. IEEE Trans. on Mechatronics, 4(1):3–8, Marzo 1999.

[3] Hori, Y. An instantaneous speed observer for high performance control of DC servomotor using DSP and low precision shaft encoder. En EPE, tomo 3, páginas 647–652. Firenze, 1991.

[4] Hori, Y. Robust and adaptive control of a servomotor using low precision shaft encoder. En IEEE, editor, IECON, tomo I, páginas 73–78. 1993.

[5] Bodson, M., J. Chiasson, y R. Novotnak. Nonlinear speed observer for high performance induction motor control. IEEE Trans. on Ind. Electr., 42(4):337– 343, Agosto 1995.

[6] Sakai, S. y Y. Hori. Ultra-low speed control of servomotor using low resolution rotary encoder. En IECON, páginas 615–620. 1995.

[7] Kim, H. A new motor speed estimator using Kalman filter in low speed range. IEEE Trans. On Industrial Electronics, 43(4):499–504, 1996.

[8] Kweon, T. y D. Hyun. High-performance speed control of electric machine using low precision shaft encoder. IEEE Trans. Power Electronics, 15(5):838–849, 1999.

[9] Corres, J. M. y P. M. Gil. High-performance feedforward control of IM using speed and disturbance torque observer with noise reduction of shaft encoder. En ISIE’02 . IEEE, L’Aquila, Italia, Julio 2002.

[10] Corres, J. M. y P. M. Gil. Instantaneous speed and disturbance torque observer using nonlinearity cancellation of shaft encoder. En PESC’02 . IEEE, Cairns, Australia, Junio 2002.

[11] Corres, J. M. y P. M. Gil. Diseño robusto de observadores de velocidad usando aritmética de intervalos afín. TELEC’02 International Conference. Santiago de Cuba, Cuba, Julio 2002.

[12] Corres, J. M. y P. M. Gil. A new speed observer with guaranteed bounds using interval arithmetic. En 28th Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics Society, tomo 2, páginas 1532–1537. IEEE, Sevilla, España, Noviembre 2002.