Segmentación de sostenimientos según montera e integración con el método de elementos finitos

En ciertas fases de proyecto, generalmente las iniciales, en fase de anteproyecto o de estudios de factibilidad, es necesario el uso de métodos de cálculo simples que ofrezcan sencillez y flexibilidad de uso y una relación del coste/tiempo de uso con los resultados obtenidos satisfactoriamente.

A este hecho hay que sumar que en dichas fases de proyecto la información disponible suele ser escasa, generando una gran incertidumbre y desaconsejando el uso de métodos de cálculo más complicados. Estos métodos requerirán datos fiables y una gran cantidad de tiempo empleado en la modelización para reportar resultados satisfactorios.

Como es conocido, en estas fases iniciales de proyecto ni el tiempo disponible ni el conocimiento del terreno alcanzan los niveles requeridos por estos métodos. Tampoco el nivel de detalle del diseño suele invitar al uso de métodos más complicados como el método de elementos o diferencias finitas.

Asimismo, la gran incertidumbre inherente a las fases iniciales de proyecto requiere no sólo el uso de métodos simples, sino el planteamiento y estudio de la mayor cantidad de casos posibles. Para ello, se deberá hacer uso de la aplicación de métodos estadísticos que puedan ser aplicados a métodos sencillos que provean de la posibilidad de estudio de la mayor cantidad de casos posibles con un coste y en un plazo de tiempo razonables.

Además de esta aplicación general, ampliamente conocida, la exposición se centrará en el planteamiento de la montera como variable aleatoria de cálculo y su aplicación a la segmentación de sostenimientos según la montera sobre la clave y al establecimiento de casos de cálculo en el método de elementos finitos.

En el presente artículo se propondrán diferentes métodos de análisis de los datos resultantes de la aplicación de métodos estadísticos sencillos a métodos de cálculo de túneles analíticos, centrándose en la aplicación de éstos al método analítico generalmente denominado ‘convergencia – confinamiento’.

Los métodos analíticos imponen al modelo de cálculo ciertas simplificaciones en las condiciones de carga y simetría, haciendo posible realizar el análisis de la interacción terreno-sostenimiento a partir de este modelo básico (Duncan Fama, [1993]; Carranza Torres [2004]).

Como modelos de cálculo para el planteamiento del método se tomarán los siguientes:

• Formulación propuesta por Carranza y Torres (2004) para la determinación de las líneas características del terreno usando el criterio de Hoek-Brown.
• Método de Vlachopoulos y Diederichs (2009) para la determinación del desplazamiento anterior a la colocación del sostenimiento.
• Formulación de la línea de confinamiento por medio de las formulaciones propuestas por Hoek (1980) y Badry y Brown (1985).

De igual manera, los métodos estadísticos que se tratarán en el artículo son los siguientes:

• Métodos de sensibilidad basados en el análisis de la varianza.
• Método de Montecarlo.
• Análisis de fiabilidad.
• Cada uno de estos métodos se aplicará a una fase de cálculo determinada, como se mostrarán más adelante.

De igual modo, se propondrán métodos para la interpretación en profundidad de los resultados de su aplicación, tomando como centro de la exposición el uso de la montera como variable aleatoria en el método de Montecarlo para su aplicación a la segmentación de sostenimientos según la montera sobre la clave y al establecimiento de casos de cálculo en el método de elementos finitos.

La metodología propuesta se resume en 4 apartados principales. Estos apartados, junto con los métodos estadísticos aplicables, se muestran en la siguiente tabla:

Cada una de estas fases se detallará en los puntos siguientes:

3.1.- Establecimiento de las variables más influyentes en el cálculo

El objetivo de esta fase es establecer las variables que causan un mayor impacto en los resultados de cálculo, ya sea por su alta variabilidad, por su influencia en la formulación del método de cálculo o por una mezcla de ambas.

En esta fase se hará uso de estudios de sensibilidad basados en la varianza. Este método constituye un tipo de análisis de sensibilidad por medio del cual se descompone la varianza de la salida del modelo analizado en diferentes fracciones que se asignan a cada uno de los inputs de dicho modelo o a la interacción de dos o más inputs. Su formulación general es la siguiente:

De esta forma, es posible establecer la contribución de cada variable de cálculo a la varianza final del resultado del mismo. Por lo tanto, se puede establecer qué parámetro será más adecuado modelizar como variables aleatorias ya que interesa estudiar cómo afecta su variabilidad al cálculo y cuáles se podrán tomar como constantes, puesto que su afección al cálculo es mínima y su variabilidad no afectará de gran manera a éste.

Es decir, al final de esta fase se deberá obtener dos grupos de parámetros de cálculo:

• Parámetros que se modelizarán como variables aleatorias
• Parámetros que se modelizarán como constantes.

Cabe comentar que, en el método propuesto, el único parámetro que se tomará siempre como variable aleatoria es la montera.

Un ejemplo de un estudio de sensibilidad para la aplicación del método propuesto por Carranza Torres (2004) talud se presenta a continuación:

Una vez definidas las variables aleatorias, se debe definir el modelo de comportamiento del terreno por medio del cual se hallarán las líneas características.

Una vez establecido el modelo de comportamiento, se realizará una simulación de Montecarlo donde se definirá la línea característica media, así como las siguientes distribuciones, que deberán ser ajustadas a la más adecuada:

• Distribución de radio de plastificación máximo.
• Distribución de la convergencia máxima registrada.

Generalmente ambas se podrán ajustar a una distribución Normal, Lognormal, Beta o Gamma.

3.2.- Establecimiento del comportamiento del terreno y de su interacción con el sostenimiento

En este segundo paso se establecerá por medio de un análisis de Montecarlo la distribución de desplazamiento para una o varias distancias fijas del frente, dependiendo de las opciones que se quieran valorar.

Para el caso del método de Vlachopoulos y Diederichs (2009), los parámetros que será necesario establecer como variables aleatorias por medio de sus respectivas distribuciones y estadísticos, será:

• Radio de plastificación máximo.
• Convergencia máxima registrada.
• Convergencia en el frente.

Que deben ser extraídos del cálculo de Montecarlo realizado con las líneas características en los dos primeros casos y de la aplicación de dicho método a la formulación propuesta por Vlachopoulos et al (2009) para la convergencia en el frente o u_if:

Donde u_im es el desplazamiento que ocurre cuando se alcanza el radio de plastificación máximo r_pm y r_i el radio del túnel.

Una vez establecido como una variable aleatoria, conocida su distribución y estadísticos básicos, se seleccionará el valor de convergencia o desplazamiento al que se desee estudiar el comportamiento del sostenimiento. Para ello se recomienda el cálculo del mismo por medio del establecimiento de valores característicos de cálculo por medio de la fórmula propuesta por Schneider (1997):

Xk = Xm - 0,5·σ

Siendo:

• Xk= valor característico
• Xm= valor medio
• σ = desviación típica

Una vez establecido dicho valor, se debe calcular la línea de confinamiento o del sostenimiento. Existen diferentes métodos para ello, siendo el propuesto en la presente tesis el método de Hoek (1980) y de Badry y Brown (1985). Con ellos se debe establecer el estudio obteniendo las distribuciones siguientes:

• Factor de seguridad.
• Margen de seguridad (M = Resistencia - Solicitación), junto con las de las capacidades resistentes y solicitantes y el cálculo de la probabilidad de fallo.
• Radio de plastificación en el punto de equilibrio.

Para un estudio más detallado, se recomienda realizar el cálculo para:

• Diferentes distancias al frente.
• Diferentes configuraciones del sostenimiento (espesores de hormigón proyectado, mallas de bulones, cerchas, etc.).
• Diferentes resistencias del hormigón.

De esta manera se puede realizar un estudio muy detallado de la influencia de estos factores sobre el sostenimiento y su impacto sobre el diseño.

Como comenta E. Hoek (1998) en su publicación ‘Reliability estimates and their impact on design’, una manera sencilla de estimar la eficiencia de un sostenimiento es establecer la distribución del radio de plastificación en el punto de equilibrio entre el sostenimiento y el terreno, de manera que a mayor eficacia del mismo, menor dispersión se medirá en los datos, registrándose un descenso de la desviación típica.

Otra manera complementaria constituye la recomendada por Kalamaras, Grasso et al (1999), donde se recomienda la citada variación de la configuración del sostenimiento y su impacto en el margen de seguridad. Obviamente, a menor dispersión en los datos en el entorno de un valor aceptable del mismo, mayor fiabilidad del sostenimiento.

3.3.- Establecimiento de los índices de fiabilidad y probabilidad de fallo para un diseño óptimo

A partir de la distribución del margen de fallo, establecer los índices de fiabilidad y probabilidades de fallo para cada prueba y escoger el que se considere más adecuanda desde el punto de vista técnico y económico comparando, además, con otras experiencias anteriores (K.K. Phoon, 2004).

Una vez establecida la probabilidad de fallo, se recomienda el uso de la fórmula propuesta por Kalamaras, Grasso et al (1999) para el cálculo de la probabilidad de fallo global de un sostenimiento:

Donde n es el número de veces que está previsto usar el sostenimiento a lo largo del trazado del túnel y Pf la probabilidad de fallo de una sección aislada.

Es importante comentar que, como recomendaban Kalamaras, Grasso et al (1999), no se debe confiar que el cálculo de fiabilidad ‘protegerá’ de posibles inexactitudes o errores y se debe elegir tanto métodos adecuados como valores adecuados –junto con sus dispersiones- para cada parámetro-. De otro modo, el cálculo no resultará representativo y, por ello, resultará inútil para un diseño fiable.

Una de las mayores ventajas de los métodos analíticos comprende que, debido a su sencillez, es posible aplicar métodos de cálculo costosos como el método de Montecarlo.

De este modo, es posible realizar decenas de miles de cálculos con un coste temporal muy ajustado. En programas como Rocsupport de Rocscience esta tarea puede llevar menos de 10 minutos.

Así pues, esta cantidad de cálculos que es posible realizar reporta al diseñador la posibilidad de obtener una gran cantidad de resultados que pueden ser correlacionados entre sí.

Una aplicación interesante de los cálculos que pueden ser correlacionados comprende el análisis de la relación existente entre la montera de cálculo y la convergencia obtenida. De este modo, es posible establecer límites de utilización de sostenimientos según la montera sobre la clave. Este hecho se ha denominado ‘segmentación de sostenimientos’.

4.1.- ¿En qué consiste la segmentación de sostenimientos según su montera?

En un proyecto de túneles generalmente se define cada sostenimiento por el rango de calidad del macizo rocoso para el cual ha sido diseñado. Este diseño suele realizarse para las condiciones pésimas de dicho rango, que incluyen la máxima montera aplicable.

Este método resulta en un diseño muy conservador; sin embargo, cabe preguntarse, ¿sería aplicable ese mismo sostenimiento para un rango de calidad del macizo rocoso peor si se modifica la variable montera, es decir, si tenemos en cuenta el diferente comportamiento del macizo según el estado tensional del mismo?

Simplificando, ¿podría ser válido un diseño pensado, por ejemplo, para 400 m de montera y R.M.R.= 55 para un macizo con calidad R.M.R.=45? ¿Qué variable podría hacer que el comportamiento del macizo sea similar? En este punto entra en juego la montera, ya que esta generará diferentes estados tensionales que provocarán diferentes comportamientos del macizo rocoso.

De esta manera, la segmentación de sostenimientos consiste en el estudio de la validez de un determinado sostenimiento para rangos inferiores de calidad del macizo del que inicialmente estaba diseñado tomando como variable de cálculo la montera. Este hecho permite una optimización de la distribución de sostenimientos, reduciendo costes tanto económicos como de ejecución del túnel.

4.2.- ¿Por qué tomar la montera como variable aleatoria? ¿Cómo modelizarla?

Como se viene comentando, la montera representa el parámetro de cálculo que será necesario establecer como variable aleatoria para poder realizar el estudio de la validez del sostenimiento en condiciones peores a las inicialmente propuestas.

Para modelizar la montera como variable aleatoria puede procederse de diferentes métodos. Se recomienda el propuesto por Hita (2015) donde se propone modelizar la montera en el tramo que se desee estudiar como cualquier otra variable aleatoria; es decir, primero hallando el histograma correspondiente y sus estadísticos principales y estableciendo la distribución estadística con mejor ajuste.

Tabla 3.- Modelización de la montera para el ajuste de una función estadística.

Cabe comentar que la distribución triangular suele ser muy útil en estos casos, usándose frecuentemente también la distribución normal.

4.3.- Estudio montera vs convergencia. Establecimiento de las monteras límite

Por lo tanto, el objetivo del estudio de la validez de un determinado sostenimiento en una calidad del macizo rocoso determinada será el establecimiento de la montera límite a la que es posible aplicarlo con una determinada seguridad.

Para determinar esa seguridad de aplicación se tomarán varias referencias:

• Convergencia límite asumible. Establecida por los límites usuales –se recomienda asumir tal que la convergencia sea menor del 1%-.
• Margen de seguridad y probabilidad de fallo de los casos con una convergencia igual o menor a la convergencia límite establecida.

De esta manera se asegura la seguridad del sostenimiento para el rango de calidad del macizo y la montera planteados.

Entonces, partiendo de estas premisas, ¿cómo se puede hallar la montera límite? Este punto resulta sencillo una vez se ha establecido la convergencia límite y se ha asegurado que el margen de seguridad y la probabilidad de fallo para la misma son adecuados.

Se deberán hallar los estadísticos principales –media y desviación típica- de las monteras de cálculo de los casos que han registrado una convergencia igual o menor a la establecida como límite. De este modo, se pueden obtener tablas como la siguiente:

Tabla 4.- Estadísticos resultantes del estudio de la montera vs convergencia.

Se recomienda tomar el valor característico de la montera por medio de la fórmula de Schneider (1997). Asimismo, la realización de gráficos como los siguientes resulta muy sencilla:

Donde z representa la montera. En el eje y se representa el porcentaje de resultados según su nivel de convergencia (verde < 1% a rojo >5%). Resultando sencillo la localización de los casos límite y de la montera límite. De esta manera, partiendo de estos datos es sencillo establecer casos de cálculo en M.E.F.

En este caso se representa la convergencia contra la montera de cálculo, resultando sencillo y rápido establecer gráficamente tendencias y correlaciones entre ambas –así como con otras muchas variables-.

Por último, un resumen de la metodología propuesta se muestra en la siguiente figura:

4.4.- Integración de los cálculos analíticos con el M.E.F.

Una vez establecidas las monteras límite en cada situación, estos casos deberán ser comprobados por medio de métodos más certeros como es el método de elementos finitos en fases más avanzadas de proyecto.

De este modo, se pueden establecer casos de cálculo complementarios a los casos pésimos que generalmente son analizados. El proceso se muestra en la siguiente figura:

4.5.- ¿Qué se consigue con la segmentación de sostenimientos?

El objetivo principal consiste en poder realizar un estudio inicial de la optimización del uso de los sostenimientos que, posteriormente, pueda ser complementado con estudios más avanzados y exactos que corroboren las hipótesis iniciales.

Al proponer sostenimientos más ligeros y con mayores pases de avance, se optimiza el coste de construcción del túnel, tanto en materiales como en tiempo de construcción tomando como base de cálculo no sólo la calidad del macizo rocoso sino los diferentes comportamientos del mismo según el estado tensional del macizo.

4.6.- Limitaciones del método

Como se ha venido comentando, el método de convergencia confinamiento realiza unas simplificaciones en las hipótesis de cálculo que le permiten resolver las ecuaciones de manera analítica.

Estas limitaciones deben ser tenidas en cuenta a la hora de utilizar el método. De esta manera, los cálculos realizados por medio de métodos analíticos deberán ser complementados con cálculos más avanzados y exactos -como los realizados por medio del método de elementos finitos- en fases avanzadas de proyecto o bien ser usados como primeras aproximaciones en fases iniciales o de estudios de viabilidad para estimaciones de costes, tiempos de construcción, etc.

La metodología de cálculo propuesta permite la gestión de la incertidumbre de cada uno de los parámetros que intervienen en ella, partiendo desde los parámetros del terreno a los propios del sostenimiento, proveyendo de una metodología flexible y con una gran capacidad de generar información útil.

Sin embargo, las propias limitaciones del método hacen que las líneas de confinamiento o del sostenimiento se muestren como una aproximación a la interacción del terreno y el sostenimiento en muchos casos donde la geometría del túnel, su método de excavación o el estado tensional del macizo no coincida con las hipótesis simplificadas que se asumen.

Por el contrario, debido a la simplicidad de estos métodos, resulta sencilla y aceptable en coste la aplicación de métodos costosos como el método de Montcarlo. Estos métodos permiten el planteamiento de decenas de miles de casos de cálculo que reportan una gran cantidad de información al diseñador y le aportan una herramienta muy potente en fases preliminares de diseño.

Tomando esta ventaja como base, se plantea el método de segmentación de sostenimientos. Este método permite la realización de una gran cantidad de estudios con el objetivo de conseguir la optimización de la distribución espacial de los sostenimientos propuestos.

Esta optimización se puede convertir en una optimización de la estimación de costes en fases iniciales de proyecto y, junto con el uso de métodos más potentes, en una reducción real de costes y de tiempo de ejecución del túnel.

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