Medición y control optimización mediante el uso de los algoritmos de Levenberg-Marquardt. El proceso de identificación se basa en la variación de los coeficientes de un vector de parámetros a partir de una función objetivo. Este está formado por los coeficientes de cada error a caracterizar en función de las estrategias definidas (figura 8). las funciones de los ejes lineales. Por lo que es nece- sario utilizar funciones de regresión que permitan caracterizar este comportamiento periódico, series de Fourier. Series de Fourier. Donde los coeficientes a caracterizar son A1... An, B1... Bn y la variable de dependencia es θ. La adecuación de las funciones de aproximación obte- nidas está directamente relacionada con la precisión de los puntos capturados y la precisión de la matriz de roto-traslación entre sistema de coordenadas MH y sistema de coordenadas de referencia (LT). La mejora en la precisión de los puntos capturados se consigue mediante la aplicación de técnicas de multilateración, mientras que el ajuste entre los distintos sistemas de coordenadas se obtiene mediante la aplicación de técnicas de autocalibración. El modulo de verificación volumétrica permite la uti- lización de ambas técnicas de mejora de precisión como fase previa a la obtención de los errores geomé- tricos de la máquina. Las técnicas de auto-calibración y multilateración implementadas son: • Intersección de esferas mediante ajuste por míni- mos cuadrados. • Trilateración. • Tetralateración. La técnica de intersección de esferas se basa en la resolución analítica [9]. El laser tracker proporciona las coordenadas de un punto medido en coordenadas esféricas (r, θ, Φ). La mayor contribución a la incerti- dumbre de medida la realizan las coordenadas θ y Φ de los puntos medidos. Al despreciar esta información solamente nos quedamos con la componente radial r por lo sabemos que el punto medido se encuentra en la superficie de una esfera con centro el sistema de coordenadas del laser tracker y radio r. Si medimos este punto desde tres posiciones de laser tracker más obtenemos un sistema de ecuaciones con la forma: A diferencia de la multilateración mediante intersec- ción de esferas, la multilateración mediante la técnica de trilateración obtiene de manera conjunta el posi- cionamiento relativo de los LTs, autocalibración, y los coordenadas de los puntos multilaterados [9, 10]. Esta técnica se basa en un proceso iterativo de identifi- Figura 8. Ejemplo proceso iterativo. Cada uno de los coeficientes ai..an, bi...bn, etc son evaluados en cada iteración a través de las funciones de regresión de cada uno de los errores; al final del proceso de optimización se obtiene para cada error analizado una función Fƒ(j)≈ƒ(j) con j = x, y, z, a, b, c variables de dependencia del error geométrico. Las funciones de regresión a emplear en la carac- terización-identificación de los errores geométricos están relacionadas con el comportamiento físico de los mismos [7, 8]. En el caso de los errores geomé- tricos provenientes de un eje lineal las funciones de regresión a emplear son: Siendo n el grado de la función aproximada, θi el peso asociado a cada polinomio de Chebyshev de orden i y Ti(x) el polinomio de Chebyshev de orden i. Los polinomios de Chebyshev tienen la forma: En el caso de los errores geométricos provenientes de un eje de rotación [12], el comportamiento periódico de los mismos no puede ser caracterizado mediante 36