Como se puede observar en la gura 2, en la operación de fresado considerada en este trabajo, el eje del husillo no es perpendicular a la super cie de la pieza sino que a) está inclinado un determinado ángulo con respecto a la normal a la super cie ( gura 2b) y b) se orienta otro determinado ángulo con respecto a la dirección de avance. Por lo tanto, la orientación del eje del husillo se de ne por medio de dos ángulos denominados en este trabajo como: el ángulo de inclinación ß y el ángulo de orientación . En la gura 2, por cla- ridad, se supone que el eje de la fresa coincide con el eje de giro del husillo, es decir, no existe excentricidad radial en la fresa. Para de nir estos ángulos, se emplea el esquema de la operación de fresado mostrada en la gura 2a, en la cual se representan dichos ángulos ß y . Como se puede observar en la gura, el ángulo de inclinación ß es el ángulo formado entre el eje del husillo y la nor- mal a la super cie de la pieza. Para facilitar la de nición del ángulo de orientación , se considera en primer lugar la proyección del eje del husillo en el plano XwYw (ver gura 2a). El ángulo de orientación se de ne como el ángulo que forma dicha proyección con la direc- ción de avance Xw. Como se verá en los siguientes apartados, estos ángulos son parámetros que determinan la forma de las cavidades generadas. Durante la operación de fresado considerada en este trabajo, los ángulos ß y se jan al inicio de la operación de fresado y se mantienen invariables a medida que avanza la fresa. Una vez de nidas las condiciones de fresado, para deducir las ecuaciones que expresan las trayectorias de los los, es necesario transformar las coordenadas de los puntos de corte de nidas en el sistema del husillo XsYsZs (ecuación (5) al sistema asociado a la pieza XwYwZw ( gura 2) teniendo en cuenta la inclinación y orientación ß del husillo y las condiciones de corte (avance ƒ y ángulo girado a). En esta comunicación, se emplea la transformación entre sistemas presentada con mayor detalle en [16], que se basa en el empleo de una serie de sistemas de coordenadas auxiliares y en la deducción de las matrices de transformación de coordenadas entre los sistemas. Teniendo en cuenta estas matrices de transformación, las coorde- nadas de un punto P(i, ) en el sistema asociado al husillo XsYsZSs se puede expresar en el sistema de la pieza XwYwZw como: Donde las matrices de transformación se pueden expresar como: 2.4. Trayectoria de los los de corte Sustituyendo las ecuaciones (4) en (5) y las ecuaciones (5) en (6), se obtienen las coordenadas de un punto P(i, k), situado a una altura Zi en el lo k, en el sistema de la pieza XWYWZW en función de las condiciones de corte, de la excentricidad radial y de la geometría de la fresa de punta esférica: Finalmente, la trayectoria descrita por el punto P(i, k) en una opera- ción de fresado en cinco ejes se obtiene variando el ángulo girado a en las ecuaciones (7). Por lo tanto, cuando se simula el movimiento reali- zado por los los de corte, la trayectoria de un punto situado en un lo de corte de la fresa está compuesta por una serie de puntos que se cal- culan para distintos valores del ángulo a a lo largo del giro del husillo. 2.5. Simulación de cavidades generadas en fresado de cinco ejes En la gura 3, se muestra la simulación de una cavidad generada en la super cie de una pieza fresada en cinco ejes. La cavidad corresponde a la huella dejada por un lo de corte de la fresa en la super cie de la pieza. Para ello, se requiere la simulación de las trayectorias descritas por diferentes puntos situados en un mismo lo de corte. Por lo tanto, 7 para simular la cavidad, los los de corte de la fresa se discretizan en un número nito de puntos, para los cuales se simula la trayectoria a medida que el husillo gira. Como se ha mencionado anteriormente, cada trayectoria está formada por una serie de puntos. De entre estos puntos, se seleccionan aquellos puntos de la trayectoria que están por debajo de la super cie de la pieza. Repitiendo este proceso para todos los puntos del lo discretizado, se obtiene una nube de puntos que conforma la cavidad simulada. En la gura 3b, se representan los puntos de las trayectorias de los los de corte, que están situados por debajo de la super cie de la pieza. Estos puntos de nen la forma y geometría de la cavidad simulada. Para las condiciones simuladas en la gura 3, la cavidad en la super cie de la pieza se asemeja a una forma elíptica ( gura 3b). En la gura 3c, se representan los per les de la cavidad a lo largo de la dirección de avance en el plano (y=0) y a lo largo de la dirección de paso lateral (x=0). Con el n de analizar la forma y dimensiones de las cavidades gene- radas, a partir de los puntos que conforman la cavidad (ver gura 3b), se obtienen los puntos que de nen el contorno de la cavidad en la super cie de la pieza ( gura 3d). A partir de estos puntos, se ajusta el contorno a una elipse para obtener las dimensiones de la cavidad. El ajuste se realiza por medio del método de los mínimos cuadrados. El objetivo del ajuste es obtener una serie de pará- metros que caracterizan la forma y dimensiones de las cavidades ( gura 3d): • • • (xC, yC): coordenadas del centro de la elipse. a, b: semiejes mayor y menor de la elipse. : ángulo que forma el semi-eje mayor con la dirección de avance x. Además de estos parámetros, se calculan dos errores que miden el ajuste del contorno de la cavidad a una elipse: 1) el error radial máximo er entre el contorno de la cavidad y el contorno de la elipse y 2) el error eA cometido entre el área de la cavidad y el área de la elipse. 3. In uencia de las condiciones de corte en la geometría de las cavidades En este apartado, se analiza la in uencia de las condiciones de corte (ángulos de orientación Υ e inclinación ß de la fresa, el avance por lo ƒz y la profundidad de pasada αp) y del radio nominal R de la fresa en la forma y dimensiones de la cavidad con objeto de desa- rrollar un procedimiento que permita obtener las condiciones de fresado necesarias para la obtención de cavidades con determi- nada orientación y forma. En primer lugar, por medio de la gura 4, se analiza la in uencia de los ángulos de orientación Υ y de incli- nación ß en la forma y geometría de las cavidades, manteniendo constante el resto de condiciones de corte. HERRAMIENTAS TRATAMIENTOS TÉRMICOS Y DE SUPERFICIES