49 ROBÓTICA relativa entre las dos superficies, sgn() representa la función signo y Fv representa el coeficiente de fricción viscosa. Posteriormente, este modelo se completa teniendo en cuenta que existe una fuerza de fricción en reposo, de- nominada fuerza de fricción estática o fuerza de despren- dimiento (Fs). Se establece que una fuerza de fricción en reposo es mayor en magnitud a la fuerza de fricción de Coulomb. Sin embargo, las fuerzas externas contrarres- tan a la fricción estática bajo un cierto nivel para poder así mantener un objeto en movimiento. Por tanto, la fricción en reposo no puede ser descrita como una fuerza en fun- ción de la velocidad, sino que debe ser modelada usando fuerzas externas (Fe). Todas estas aproximaciones contienen componentes que son lineales en velocidad. Sin embargo, Richard Stribeck observó que la fuerza de fricción no se comporta como en los anteriores modelos, sino que demuestra que la fuerza depende de la velocidad. El fenómeno anterior es el llamado efecto Stribeck. donde F(v) es una función arbitraria. Aunque esta función ha sido parametrizada por varios autores, una forma bas- tante extendida de representar esta no linealidad es la propuesta en (3): donde FC es el nivel de Fricción de Coulomb, Fs es el nivel de fuerza de desprendimiento y vs es la velocidad de Stribeck. La principal desventaja cuando se usa un modelo como el de la ecuación (3) para simulaciones o propósitos de compensación está en que posee una discontinuidad en v = 0 y, por tanto, resulta demasiado idealista. Se ha com- probado que el modelo de fricción discontinua es una simplificación no-física, en el sentido de que el contacto mecánico entre la masa distribuida y la superficie de con- tacto no puede exhibir un cambio instantáneo en la fuerza [8]. A partir de ahí, se han desarrollado numerosos mo- delos de fricción sin discontinuidad, entre los cuales des- taca el modelo de Karnopp. En él, la discontinuidad se eli- mina mediante la introducción de una región muy peque- ña (finita) en la zona de velocidad cero, en la que la fuerza de fricción se supone linealmente proporcional a la velo- cidad hasta un determinado umbral de velocidad (vth). A diferencia de la ecuación (3), en este modelo se reem- plaza la denominada velocidad de Stribeck (vs) por un co- eficiente cv de naturaleza similar ya que representa la transición entre la fricción estática y la de Coulomb. Tratando también de reproducir alguna de las dinámicas complejas de la fricción, se desarrolló el conocido como modelo de Armstrong. Este modelo introduce dependen- cias temporales para la fricción estática y para el efecto Stribeck, pero no trata los efectos que aparecen en el pre- deslizamiento. Existen en la literatura otra serie de mo- delos de fricción estáticos como son el modelo de Tustin o el modelo de Lorentzian, entre otros, que no serán tra- tados en este artículo bien porque no son utilizados para la compensación de la fricción debido a su complejidad computacional y ajuste experimental, o bien porque son casos particulares del efecto Stribeck [8]. Aunque todos los modelos anteriores contribuyeron al di- seño de controladores que lograron disminuir los efectos de la fricción, no pudieron eliminarlos por completo al no representar ciertos comportamientos dinámicos. Esto condujo a la aparición de nuevos modelos (dinámicos) con la finalidad de reproducir los efectos más complejos de la fricción y enfrentar los nuevos retos que a su vez trajo consigo la reducción de los efectos más notorios de la fricción y el efecto de otras no linealidades de menor amplitud. No obstante, estos modelos estáticos siguen siendo ampliamente utilizados para el diseño de sistemas de compensación. Desde el punto de vista dinámico, uno de los modelos utilizados para representar las dinámicas de los efectos más complejos de la fricción es el modelo de Dahl [9]. tecnología